David Hilbert Bücher

Die Untersuchungen zur Grundlagen der Mathematik, die seit 1917 in Zusammenarbeit mit P. Bernays und W. Ackermann durchgeführt werden, zielen darauf ab, die Widerspruchsfreiheit der mathematischen Methoden zu gewährleisten. Der erste Teil des Lehrgangs von Bernays präsentiert die aktuellen Ergebnisse der Theorie und zeigt auf, wie diese die zukünftige Forschung in der Beweistheorie beeinflussen. Hilbert betont, dass die Missverständnisse bezüglich Gödel's Ergebnissen irreführend sind und dass eine präzisere Betrachtung notwendig ist, um die Widerspruchsfreiheit zu erreichen.

Die sorgfältige Herausgabe dieses ersten Bandes erfordert ein tiefes Verständnis der Zahlentheorie, was von den Mathematikern Wilhelm Magnus, Olga Taussky und Helmut Ulm meisterhaft umgesetzt wurde. David Hilbert hebt hervor, dass die Sammlung bedeutende Beiträge zur Theorie der algebraischen Zahlen enthält, einschließlich eines umfassenden Berichts. H. Hasse bietet im Nachwort eine Darstellung der Entwicklung dieser Theorie bis zur Gegenwart. Die Gesamtausgabe zielt darauf ab, insbesondere die jüngere Generation zu inspirieren und die mathematische Wissenschaft zu fördern.

Hilberts Arbeiten zur algebraischen Form und zu Invariantensystemen revolutionieren das algebraische Denken und gehen über die Invariantentheorie hinaus. Zentrale Elemente sind die Anwendung arithmetischer Methoden auf algebraische Probleme und die Betrachtung des Invariantenkörpers als Spezialfall eines Funktionenkörpers. Dies markiert einen Wendepunkt in der Entwicklung der allgemeinen Theorie von Körpern, Ringen und Moduln. Ergänzend bietet der Band eine Übersicht über Hilberts geometrische Untersuchungen, verfasst von Arnold Schmidt.

Die Beweistheorie wird in diesem Band umfassend dargestellt, wobei die Zusammenarbeit mit P. Bernays eine zentrale Rolle spielt. Das Buch bietet eine eingehende Orientierung über die HILBERTsche Beweistheorie und beleuchtet die wichtigsten Ansätze, die mit dem e-Symbol verbunden sind. Trotz der bescheidenen Fortschritte im Vergleich zu den theoretischen Zielen zeigt der Band eine Fülle prägnanter Ergebnisse und Beweisgedanken, die für das Verständnis der Thematik von Bedeutung sind. Die sorgfältige Ausarbeitung und Korrektur durch verschiedene Mitwirkende unterstreicht die Qualität des Werkes.

Der dritte Band der Abhandlungen von David Hilbert vereint seine Arbeiten zu Analysis, Physik und den Grundlagen der Mathematik, nachdem ursprünglich eine vierbändige Ausgabe geplant war. Der Verzicht auf bereits veröffentlichte Sonderdrucke ermöglicht eine umfassende Darstellung seiner Integralgleichungstheorie durch HELLINGER sowie eine Übersicht über die Grundlagen der Mathematik von BERNAYS. Zudem wurde die Strahlungstheorie von KRATZER überarbeitet. Abgerundet wird der Band durch einen biographischen Aufsatz von BLUMENTHAL, der Hilberts Lebenswerk würdigt.

In diesem Buch, erstmals 1924 bzw. 1937 erschienen, spürt man noch wie am ersten Tag die Frische und Inspiration zweier großer Mathematiker und Lehrer. Hilbert kann man mit Fug und Recht als den letzten Mathematiker bezeichnen, der in allen Gebieten seiner Wissenschaft zu Hause war und in den verschiedensten Bereichen der Mathematik grundlegende neue Erkenntnisse gewann. Seine Resultate haben entscheidend die moderne Auffassung vom Wesen der Mathematik geprägt. Sein Schüler Courant galt und gilt auch heute noch als ein ausgezeichneter Lehrer, der auch schwierigste Materien verständlich darstellen konnte. Das bei Springer erschienene Buch von Courant/Robbins: Was ist Mathematik , kann in diesem Zusammenhang als beispielhaft genannt werden. Alles in allem eine großartige Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel des Physikers, die auch heute noch viele enthusiastische Leser finden wird.

Anschauliche Geometrie - wohl selten ist ein Mathematikbuch seinem Titel so gerecht geworden wie dieses außergewöhnliche Werk von Hilbert und Cohn-Vossen. Zuerst 1932 erschienen, hat das Buch nichts von seiner Frische und Kraft verloren. Hilbert hat sein erklärtes Ziel, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, bei Generationen von Mathematikern erreicht. Aus Hilberts Vorwort: „Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen“.

This volume contains six sets of notes for lectures on the foundations of geometry held by Hilbert in the period 1891-1902. It also reprints the first edition of Hilbert’s celebrated Grundlagen der Geometrie of 1899, together with the important additions which appeared first in the French translation of 1900. The lectures document the emergence of a new approach to foundational study and contain many reflections and investigations which never found their way into print.

Erster Teil Die übliche Auffassung von der Mathematik und ihre Widerlegung.- 1 Die Rolle von Anschauung und Erfahrung.- 2 Die Rolle der Voraussetzungen.- 3 Die Nichtuntrüglichkeit des mathematischen Schliessens.- Zweiter Teil Die landläufige Auffassung von der Physik und ihre Berichtigung.- 4 Physikalische Begriffsbildungen.- 5 Die Gesetze der Physik und ewige Naturgesetze.- 6 Die Beziehung zwischen Theorie und Experiment.- Dritter Teil Fragen philosophischen Charakters.- 7 Physikalische Gesetzlichkeit und Kausalität.- 8 Naturgeschehen und Wahrscheinlichkeit.- 9 Die Rolle von idealen Gebilden.