Reinhold Remmert Bücher

Aus den Besprechungen: „Aufgelockert durch viele Beispiele und Übungsaufgaben, wird die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen bis zum Residuenkalkül entwickelt. Im Zentrum stehen die Integralsätze von Cauchy. Dabei begnügt sich der Autor oft nicht mit einem einzigen Beweis für einen Satz. Weitere Beweismöglichkeiten werden zumindest skizziert, oder man erhält genaue Angaben über die Originalarbeiten. Ebenso wird auf die ursprüngliche Formulierung von Sätzen hingewiesen. Jeder Paragraph schließt mit historischen Hinweisen, die auch die persönlichen Beziehungen der Beteiligten nicht ausklammern. So erfährt man natürlich die unterschiedlichen Standpunkte von Cauchy und Weierstrass. Neben den Themen, die in keinem Text zur Funktionentheorie fehlen dürfen, findet man auch “Raritäten„, etwa: Eisensteins Zugang zu den trigonometrischen Funktionen mittels Reihen oder Ritts Satz über asymptotische Reihenentwicklung, welcher einen berühmten Satz von E. Borel enthält. Das Buch kann als Lehrbuch für Anfänger dienen, aber es ist mehr: Ein Werk, das allen Mathematikern die Funktionentheorie näherbringen kann.“ # Elemente der Mathematik #1

Wer sich mit einer Wissenschaft vertraut machen möchte, sollte nicht nur die reifen Früchte ernten, sondern auch deren Wurzeln verstehen (J. c. POGGENDORFF). Der zweite Band bietet eine Darstellung der Funktionentheorie, die lebhafte Verbindungen zur geschichtlichen Entwicklung und zu verwandten Disziplinen aufweist. Der Leser soll die Funktionentheorie hautnah erleben und das Schaffen des Mathematikers nachvollziehen. Es ist nicht immer möglich, die Strukturen, die für den Bau von Domen notwendig sind, nachträglich zu erkennen. Ein Lehrbuch sollte jedoch dem Prinzip GAUSSin folgen, dass man einem vollendeten Bauwerk die Gerüste nicht mehr ansieht. Manchmal ist das Gefüge eines glatt verputzten Hauses nur zu skizzieren. Die Funktionentheorie wurde von Größen wie ABEL, CAUCHY, JACOBI, RIEMANN und WEIERSTRASS geprägt, wobei viele andere bedeutende Beiträge geleistet wurden. Es ist wichtig, nicht nur die Könige, sondern auch das Leben der Edelleute und Bürger in den Königreichen zu beleuchten. Dies führte zu umfangreichen Literaturhinweisen, die sich als wertvoll erweisen. „Man kann der studierenden Jugend keinen größeren Dienst erweisen als wenn man sie anleitet, sich durch das Studium der Quellen mit den Fortschritten der Wissenschaft vertraut zu machen“ (WEIERSTRASS an CASORATI, 1868). Im Gegensatz zum ersten Band werden häufig Ausblicke auf die Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlichen gegeben, um die Eigenständigke

An ideal text for an advanced course in the theory of complex functions, this book leads readers to experience function theory personally and to participate in the work of the creative mathematician. The author includes numerous glimpses of the function theory of several complex variables, which illustrate how autonomous this discipline has become. In addition to standard topics, readers will find Eisenstein's proof of Euler's product formula for the sine function; Wielandts uniqueness theorem for the gamma function; Stirlings formula; Isssas theorem; Besses proof that all domains in C are domains of holomorphy; Wedderburns lemma and the ideal theory of rings of holomorphic functions; Estermanns proofs of the overconvergence theorem and Blochs theorem; a holomorphic imbedding of the unit disc in C3; and Gausss expert opinion on Riemanns dissertation. Remmert elegantly presents the material in short clear sections, with compact proofs and historical comments interwoven throughout the text. The abundance of examples, exercises, and historical remarks, as well as the extensive bibliography, combine to make an invaluable source for students and teachers alike

Die Riemannsche Fläche wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen seit den 1950er Jahren intensiv untersucht, insbesondere durch die analytische Fortsetzung holomorpher Funktionen. Die Berücksichtigung von Verzweigungspunkten, die zunächst von Behnke und Thullen 1933 ausgeschlossen wurden, führte zu konzeptionellen Herausforderungen. Erst 1951 entwickelten Behnke und Stein eine zufriedenstellende Definition des Verzweigungsbegriffs. Ihre Arbeit ermöglichte das Verständnis höherdimensionaler Riemannscher Flächen, die auch singuläre Punkte ohne lokale Uniformisierende enthalten können.

Um die Fragestellungen in der elementaren Zahlentheorie zu verstehen, reicht die Fähigkeit zu zählen aus; um sie zu beantworten, bedarf es aber oft scharfsinniger Überlegungen und der Entwicklung fundamentaler Prinzipien. So beginnt dieses Buch mit der Primfaktorzerlegung und dem grössten gemeinsamen Teiler, zwei Begriffen, die aus dem Schulunterricht bekannt sind, die bei genauerer Betrachtung aber viel von ihrer Selbstverständlichkeit verlieren. Auch der theoretische Hintergrund des aus dem Alltag wohlvertrauten Dezimalsystems wird erörtert. Weitere behandelte Themen sind Kongruenzenrechnung, primitive Wurzeln und, zu guter Letzt, das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Das vorliegende Buch richtet sich an Dozenten und Studenten der Mathematik, Lehrer an Realschulen und Gymnasien, jeden, der sich für ein weit über dreitausend Jahre altes Teilgebiet der Mathematik interessiert. Es setzt dabei keine Kenntnisse ausser elementarem Schulstoff voraus. Aufgrund seiner Ausführlichkeit lässt sich der Text nicht nur vorlesungsbegleitend verwenden, sondern ist auch zum Selbststudium geeignet. Aufgaben am Ende eines jeden Paragraphen üben den behandelten Stoff ein und vertiefen ihn.

Focusing on function theory, this book provides a dynamic exploration of concepts such as residue calculus, enriched with examples and practice exercises. It delves into the historical development of the theory, featuring biographical sketches of key figures and original citations with English translations. While it serves as a resource for students preparing for exams, it also unveils valuable insights for experts and offers ongoing relevance for educators and professionals in finance, industry, and science.