Die Einführung in die Theorie der quadratischen Zahlkörper beleuchtet zentrale Invarianten wie Ganzheitsbasis, Einheitengruppe und Pellsche Gleichung. Ein besonderer Fokus liegt auf der praktischen Berechnung dieser Konzepte und deren Anwendungen auf diophantische Gleichungen, insbesondere die Bachet-Mordell-Gleichung sowie die Fermatgleichungen für die Exponenten 3 und 4. Zudem wird die ambige Klassenzahlformel bewiesen und das quadratische Reziprozitätsgesetz abgeleitet. Ein Anhang bietet eine Einführung in die Computeralgebra-Systeme pari und sage.
Geschichte - Kulturen - Menschen I. Von Babel bis Abel
700 Seiten
25 Lesestunden
Die Geschichte der Zahlentheorie wird über einen Zeitraum von 4000 Jahren in diesem Buch beleuchtet. Es behandelt bedeutende Entdeckungen und Entwicklungen in der Mathematik, von den frühen Zivilisationen bis hin zu modernen Theorien. Wichtige mathematische Konzepte und deren Anwendungen werden anschaulich erklärt, während historische Kontexte und die Biografien einflussreicher Mathematiker integriert sind. Der Leser erhält Einblicke in die evolutionäre Reise der Zahlen und deren Bedeutung in verschiedenen Kulturen und Epochen.
Algebra ohne Buchstaben - geht das? Das geht in der Tat: Schon vor 4000 Jahren haben die Babylonier herausgefunden, wie man quadratische Gleichungen löst; das Rechnen mit Buchstaben, wie wir es auf der Schule gelernt haben, ist dagegen kaum ein halbes Jahrtausend alt. Antworten auf die Frage, wie die Babylonier dabei vorgegangen sind, gibt dieses Buch. Aufbauend auf der Mathematik der ersten neun Schuljahre wird erklärt, wie die Babylonier ihre Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgeführt und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme formuliert und dann mit geometrischen Mitteln gelöst haben. Die Virtuosität, mit der sie ihre vergleichsweise bescheidenen Techniken angewandt haben, ist teilweise atemberaubend. Wer sich für einen elementaren Zugang in die Welt der babylonischen Algebra interessiert, wird um dieses Buch kaum herumkommen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte - Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen sowie Mathematik à la Carte - Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Der Autor Franz Lemmermeyer hat nach seiner Promotion in Heidelberg und seiner Habilitation in Bonn an Universitäten in den USA und in der Türkei gelehrt und unterrichtet seit 2007 Mathematik am Gymnasium St. Gertrudis in Ellwangen.
Die Theorie der quadratischen Zahlkörper ist der erste Schritt hin auf eine allgemeine Theorie algebraischer Zahlkörper. In diesem Buch werden die Hauptsätze der Theorie nicht auf dem kürzesten Weg bewiesen; vielmehr nehmen wir uns die Zeit, uns auf kleinen Umwegen mit den neuen Objekten vertraut zu machen und die Sätze an vielen Beispielen zu illustrieren. Außerdem gehen wir ausführlich auf die Geschichte der algebraischen Zahlentheorie ein und besprechen einige für die Entwicklung dieser Disziplin wichtige Beispiele. Dabei spielen vor allem diophantische Gleichungen eine große Rolle. Abgerundet wird das Buch durch zahlreiche Übungsaufgaben und eine kurze Einführung in das Rechnen mit Pari und Sage.
Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange Zeit den Schulunterricht geprägt hat. Die Leser können einen kurzen Blick auf die 4000-jährige Geschichte der quadratischen Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der Kegelschnitte zu tun haben. Darüber hinaus lernen sie Anwendungen der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und entdecken, wie leistungsfähig selbst elementare Mathematik ist, wenn man sie ernst nimmt. Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas über die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eröffnen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte – Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen.
