Die Einführung in die Theorie der quadratischen Zahlkörper beleuchtet zentrale Invarianten wie Ganzheitsbasis, Einheitengruppe und Pellsche Gleichung. Ein besonderer Fokus liegt auf der praktischen Berechnung dieser Konzepte und deren Anwendungen auf diophantische Gleichungen, insbesondere die Bachet-Mordell-Gleichung sowie die Fermatgleichungen für die Exponenten 3 und 4. Zudem wird die ambige Klassenzahlformel bewiesen und das quadratische Reziprozitätsgesetz abgeleitet. Ein Anhang bietet eine Einführung in die Computeralgebra-Systeme pari und sage.
Geschichte - Kulturen - Menschen I. Von Babel bis Abel
700 Seiten
25 Lesestunden
Die Geschichte der Zahlentheorie wird über einen Zeitraum von 4000 Jahren in diesem Buch beleuchtet. Es behandelt bedeutende Entdeckungen und Entwicklungen in der Mathematik, von den frühen Zivilisationen bis hin zu modernen Theorien. Wichtige mathematische Konzepte und deren Anwendungen werden anschaulich erklärt, während historische Kontexte und die Biografien einflussreicher Mathematiker integriert sind. Der Leser erhält Einblicke in die evolutionäre Reise der Zahlen und deren Bedeutung in verschiedenen Kulturen und Epochen.
Algebra ohne Buchstaben - geht das? Das geht in der Tat: Schon vor 4000 Jahren haben die Babylonier herausgefunden, wie man quadratische Gleichungen löst; das Rechnen mit Buchstaben, wie wir es auf der Schule gelernt haben, ist dagegen kaum ein halbes Jahrtausend alt. Antworten auf die Frage, wie die Babylonier dabei vorgegangen sind, gibt dieses Buch. Aufbauend auf der Mathematik der ersten neun Schuljahre wird erklärt, wie die Babylonier ihre Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgeführt und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme formuliert und dann mit geometrischen Mitteln gelöst haben. Die Virtuosität, mit der sie ihre vergleichsweise bescheidenen Techniken angewandt haben, ist teilweise atemberaubend. Wer sich für einen elementaren Zugang in die Welt der babylonischen Algebra interessiert, wird um dieses Buch kaum herumkommen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte - Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen sowie Mathematik à la Carte - Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Der Autor Franz Lemmermeyer hat nach seiner Promotion in Heidelberg und seiner Habilitation in Bonn an Universitäten in den USA und in der Türkei gelehrt und unterrichtet seit 2007 Mathematik am Gymnasium St. Gertrudis in Ellwangen.
Die Theorie der quadratischen Zahlkörper ist der erste Schritt hin auf eine allgemeine Theorie algebraischer Zahlkörper. In diesem Buch werden die Hauptsätze der Theorie nicht auf dem kürzesten Weg bewiesen; vielmehr nehmen wir uns die Zeit, uns auf kleinen Umwegen mit den neuen Objekten vertraut zu machen und die Sätze an vielen Beispielen zu illustrieren. Außerdem gehen wir ausführlich auf die Geschichte der algebraischen Zahlentheorie ein und besprechen einige für die Entwicklung dieser Disziplin wichtige Beispiele. Dabei spielen vor allem diophantische Gleichungen eine große Rolle. Abgerundet wird das Buch durch zahlreiche Übungsaufgaben und eine kurze Einführung in das Rechnen mit Pari und Sage.
Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange Zeit den Schulunterricht geprägt hat. Die Leser können einen kurzen Blick auf die 4000-jährige Geschichte der quadratischen Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der Kegelschnitte zu tun haben. Darüber hinaus lernen sie Anwendungen der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und entdecken, wie leistungsfähig selbst elementare Mathematik ist, wenn man sie ernst nimmt. Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas über die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eröffnen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte – Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen.
The book provides a detailed exploration of the collaboration between Emmy Noether and Helmut Hasse, featuring English translations of their correspondence from 1925 to 1935. It highlights their contributions to class field theory, showcasing Noether's significant influence beyond abstract algebra. The letters reveal mathematical proofs, conjectures, and insights, enriched by extensive commentary that contextualizes their work within the mathematical landscape of the early 20th century. This account serves as a vital resource for understanding the evolution of key mathematical concepts during that period.
This undergraduate textbook provides an elegant introduction to the arithmetic of quadratic number fields, including many topics not usually covered in books at this level. Quadratic fields offer an introduction to algebraic number theory and some of its central objects: rings of integers, the unit group, ideals and the ideal class group. This textbook provides solid grounding for further study by placing the subject within the greater context of modern algebraic number theory. Going beyond what is usually covered at this level, the book introduces the notion of modularity in the context of quadratic reciprocity, explores the close links between number theory and geometry via Pell conics, and presents applications to Diophantine equations such as the Fermat and Catalan equations as well as elliptic curves. Throughout, the book contains extensive historical comments, numerous exercises (with solutions), and pointers to further study. Assuming a moderate background in elementary number theory and abstract algebra, Quadratic Number Fields offers an engaging first course in algebraic number theory, suitable for upper undergraduate students.
KlappentextThis book is about the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will particularly appeal to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.
