Eine Linienmethode zur approximativen Lösung inverser Probleme für elliptische Differentialgleichungen

Die vorliegende Arbeit behandelt die Herleitung, theoretische Analyse und praktisch-numerische Erprobung einer Linienmethode für das Cauchy-Problem für elliptische Differentialgleichungen. Untersucht werden zum einen die Poisson- beziehungsweise Laplace-Gleichung und zum anderen eine allgemeinere Gleichung mit einem von einer Ortsdimension abhängigen Diffusionskoeffizienten. Auf der Grundlage einer bedingten Stabilitätsabschätzung für das kontinuierliche Problem vom Hölder-Typ, deren Beweis in der bisherigen Literatur zum Teil nicht ausreichend exakt durchgeführt wurde, und mit Hilfe der Einführung bestimmter endlichdimensionaler Datenräume, auf die man die (unter Umständen) gestörten Cauchy-Daten projeziert, gelingt die Regularisierung dieses schlecht gestellten Problems und der Nachweis von Fehlerabschätzungen und Konvergenzsätzen für die Linienmethode für beide betrachtete Differentialoperatoren. In dem Fall einer PDGL mit Diffusionskoeffizient werden dabei zusätzlich benötigte, umfangreiche Untersuchungen zur Konvergenz der Eigenwerte beziehungsweise Eigenvektoren der diskreten Approximation einer Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe durchgeführt. Zum Abschluß werden einige numerischen Ergebnisse vorgestellt und unter Bezugnahme auf die vorher erzielten theoretischen Resultate diskutiert.